PolyMath

id stringlengths 8 10	question stringlengths 84 1.19k	answer stringlengths 1 101
top-ar-0	يلعب توربو الحلزون لعبة على لوح يحتوي على $2024$ صفًا و$2023$ عمودًا. توجد وحوش مخفية في $2022$ خلية. في البداية، لا يعلم توربو مكان الوحوش، لكنه يعرف أن هناك وحشًا واحدًا في كل صف ما عدا الصف الأول والأخير، وأن كل عمود يحتوي على حد أقصى وحش واحد. يقوم توربو بعدة محاولات للانتقال من الصف الأول إلى الصف الأخير. في كل محاولة، يختار أن يبدأ من أي خلية في الصف الأول، ثم يتحرك باستمرار إلى خلية مجاورة تشترك بحدٍّ مشترك. (يسمح له بالعودة إلى خلية تمت زيارتها سابقاً.) إذا وصل إلى خلية تحتوي على وحش، تنتهي محاولته ويتم نقله إلى الصف الأول لبدء محاولة جديدة. الوحوش لا تتحرك، ويذكر توربو ما إذا كانت كل خلية قام بزيارتها تحتوي على وحش أم لا. إذا وصل إلى أي خلية في الصف الأخير، تنتهي محاولته وتنتهي اللعبة. حدد القيمة الدنيا لـ$n$ التي يمكن لتوربو باستخدامها وضع خطة تضمن وصوله إلى الصف الأخير في المحاولة الـ$n$ أو قبلها، بغض النظر عن مواقع الوحوش.	3
top-ar-1	لتكن $\mathbb{Q}$ مجموعة الأعداد النسبية. تُسمى الدالة $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ دالة "aquaesulian" إذا كانت الخاصية التالية تحقق: لكل $x,y \in \mathbb{Q}$،\[ f(x+f(y)) = f(x) + y \quad \text{أو} \quad f(f(x)+y) = x + f(y). \]أثبت أنه يوجد عدد صحيح $c$ بحيث أنه لأي دالة aquaesulian $f$، يوجد على الأكثر $c$ من الأعداد النسبية المختلفة على الصورة $f(r) + f(-r)$ لبعض العدد النسبي $r$، واستنتج أصغر قيمة ممكنة لـ $c$.	2
top-ar-2	ليكن $n$ عددًا صحيحًا موجبًا. يتكون المثلث الياباني من $1 + 2 + \dots + n$ من الدوائر المرتبة في شكل مثلث متساوي الأضلاع بحيث يحتوي كل صف $i$، لكل $i = 1$، $2$، $\dots$، $n$، على $i$ دوائر بالضبط، وتكون واحدة منها فقط ملونة باللون الأحمر. مسار النينجا في المثلث الياباني هو تسلسل من $n$ دائرة يتم الحصول عليه من البداية في الصف العلوي، ثم الانتقال من دائرة واحدة إلى إحدى الدائرتين التاليتين مباشرة أسفلها، والانتهاء في الصف السفلي. هنا مثال على مثلث ياباني عندما $n = 6$، مع مسار نينجا في هذا المثلث يحتوي على دائرتين حمراوين. [asy] // credit to vEnhance for the diagram (which was better than my original asy): size(4cm); pair X = dir(240); pair Y = dir(0); path c = scale(0.5)unitcircle; int[] t = {0,0,2,2,3,0}; for (int i=0; i<=5; ++i) { for (int j=0; j<=i; ++j) { filldraw(shift(iX+jY)c, (t[i]==j) ? lightred : white); draw(shift(iX+jY)c); } } draw((0,0)--(X+Y)--(2X+Y)--(3X+2Y)--(4X+2Y)--(5X+2Y),linewidth(1.5)); path q = (3,-3sqrt(3))--(-3,-3sqrt(3)); draw(q,Arrows(TeXHead, 1)); label("$n = 6$", q, S); label("$n = 6$", q, S); [/asy] بناءً على $n$، أوجد أكبر قيمة $k$ بحيث يكون هناك مسار نينجا في كل مثلث ياباني يحتوي على الأقل $k$ دوائر حمراء.	$\lfloor \log_{2} n \rfloor + 1$
top-ar-3	لنكن $n$ عددًا صحيحًا موجبًا. المربع النوردي هو لوح بحجم $n \times n$ يحتوي على جميع الأعداد من $1$ إلى $n^2$ بحيث تحتوي كل خلية على عدد واحد فقط. تُعتبر الخليتان المختلفتان متجاورتين إذا اشتركتا في جانب مشترك. تُسمى كل خلية تكون متجاورة فقط مع خلايا تحتوي على أعداد أكبر بالوادي. المسار الصاعد هو تسلسل من خلية واحدة أو أكثر بحيث: (i) الخلية الأولى في التسلسل تكون وادياً، (ii) كل خلية تالية في التسلسل تكون مجاورة للخلية السابقة، (iii) الأعداد المكتوبة في الخلايا في التسلسل تكون بترتيب تصاعدي. ابحث عن أقل عدد ممكن للمسارات الصاعدة في المربع النوردي كدالة لـ $n$.	$2n^2 - 2n + 1$
top-ar-4	البروفيسور أوك يقوم بإطعام $100$ بوكيمون. كل بوكيمون لديه وعاء بسعة محددة بوحدة الكيلوجرام وهذه السعات معروفة للبروفيسور أوك. مجموع سعات كل الأوعية هو $100$ كيلوجرام. يقوم البروفيسور أوك بتوزيع $100$ كيلوجرام من الطعام بحيث يحصل كل بوكيمون على عدد صحيح غير سالب من الكيلوجرامات من الطعام (وقد يكون هذا العدد أكبر من سعة الوعاء). مستوى عدم الرضا لبوكيمون حصل على $N$ كيلوجرام من الطعام وسعة وعائه $C$ كيلوجرام يُحسب عن طريق $\lvert N-C\rvert$. جد أصغر عدد حقيقي $D$ بحيث يكون، بغض النظر عن سعات الأوعية، يمكن للبروفيسور أوك توزيع الطعام بطريقة تجعل مجموع مستويات عدم الرضا لكل البوكيمونات الـ$100$ لا يتجاوز $D$.	50
top-ar-5	حدد الطول الأقصى $L$ لسلسلة $a_1,\dots,a_L$ من الأعداد الصحيحة الموجبة التي تفي بالشرطين التاليين: كل حد في السلسلة أقل من أو يساوي $2^{2023}$، ولا يوجد سلسلة جزئية متتالية $a_i,a_{i+1},\dots,a_j$ (حيث $1\le i\le j\le L$) يمكن اختيار إشارات $s_i,s_{i+1},\dots,s_j\in\{1,-1\}$ لها بحيث\[s_ia_i+s_{i+1}a_{i+1}+\dots+s_ja_j=0.\]	$2^{2024} - 1$
top-ar-6	لنفرض أن $n\geqslant 2$ هو عدد صحيح موجب. لدى بول شريط مستطيل أبعاده $1\times n^2$ يحتوي على $n^2$ مربعات الوحدة، حيث يرمز للمربع الـ $i^{\text{th}}$ بالرقم $i$ لكل $1\leqslant i\leqslant n^2$. يرغب بول في تقطيع الشريط إلى عدة قطع، حيث تتكون كل قطعة من عدة مربعات الوحدة المتتالية، ثم ينقل (بدون تدوير أو قلب) القطع للحصول على مربع أبعاده $n\times n$ يحقق الخاصية التالية: إذا كان المربع الوحيد في الصف $i^{\text{th}}$ والعمود $j^{\text{th}}$ مرموز له بـ $a_{ij}$، فإن $a_{ij}-(i+j-1)$ قابل للقسمة على $n$. حدد أصغر عدد من القطع التي يحتاج بول لإعدادها لتحقيق ذلك.	$2n - 1$
top-ar-7	يتكون أرخبيل إيمومي من $n\geq 2$ جزر. بين كل زوج من الجزر المختلفة خط عبّارات فريد يعمل في كلا الاتجاهين، ويتم تشغيل كل خط عبّارات من قبل واحدة من $k$ شركات. من المعروف أنه إذا أغلقت أي واحدة من الشركات $k$ جميع خطوط عبّاراتها، يصبح من المستحيل على المسافر، بغض النظر عن مكان بداية رحلته، زيارة جميع الجزر مرة واحدة فقط (وخاصة، دون العودة إلى الجزيرة التي بدأ منها المسافر). حدد القيمة القصوى الممكنة لـ $k$ من حيث $n$.	$\lfloor \log_{2}n \rfloor$
top-ar-8	لتكن $a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n$ هي $2n$ أعداد صحيحة موجبة بحيث أن $n+1$ من النتائج \[a_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 b_2 a_3 \cdots a_n, \dots, b_1 b_2 b_3 \cdots b_n\] تشكل متتالية حسابية متزايدة بترتيب صارم. حدد أصغر عدد صحيح ممكن أن يكون هو الفرق المشترك لمثل هذه المتتالية الحسابية.	$n!$
top-ar-9	ليكن $k\ge2$ عددًا صحيحًا. أوجد أصغر عدد صحيح $n \ge k+1$ بحيث يوجد مجموعة مكونة من $n$ عددًا حقيقيًا مميزًا بحيث يمكن كتابة كل عنصر منها كمجموع $k$ عناصر أخرى مميزة من المجموعة.	$k + 4$
top-ar-10	لنعتبر $\mathbb R$ مجموعة الأعداد الحقيقية. نرمز بـ $\mathcal F$ مجموعة جميع الدوال $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ التي تحقق $$f(x + f(y)) = f(x) + f(y)$$ لكل $x,y\in\mathbb R$. أوجد جميع الأعداد النسبية $q$ بحيث أنه لكل دالة $f\in\mathcal F$, هناك عنصر $z\in\mathbb R$ يحقق $f(z)=qz$.	$\left\{ \frac{n+1}{n}: n\in\mathbb{Z}, n\neq0 \right\}$
top-ar-11	تسلسلة $\pm 1$ هي تسلسل من $2022$ رقمًا $a_1, \ldots, a_{2022}$، كل منها يساوي إما $+1$ أو $-1$. حدد أكبر قيمة $C$ بحيث أنه لأي تسلسل $\pm 1$، يوجد عدد صحيح $k$ ومؤشرات $1 \le t_1 < \ldots < t_k \le 2022$ بحيث أن $t_{i+1} - t_i \le 2$ لجميع $i$، و $$\left\| \sum_{i = 1}^{k} a_{t_i} \right\| \ge C.$$	506
top-ar-12	يسمى العدد نرويجيًا إذا كان له ثلاثة مقسومات موجبة مختلفة مجموعها يساوي $2022$. حدد أصغر عدد نرويجي. (ملاحظة: يُسمح بأن يكون إجمالي عدد المقسومات الموجبة للعدد النرويجي أكبر من $3$.)	1344
top-ar-13	حدد جميع الدوال $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ التي تحقق الشروط التالية $$ (f(a)-f(b))(f(b)-f(c))(f(c)-f(a)) = f(ab^2+bc^2+ca^2) - f(a^2b+b^2c+c^2a) $$ تنطبق لكل الأعداد الحقيقية $a$ و $b$ و $c$.	$f(x)=\alphax+\beta$ or $f(x)=\alphax^3+\beta$ where $\alpha \in \{-1,0,1\}$ and $\beta\in\mathbb{R}$
top-ar-14	حدد أكبر عدد صحيح $N$ بحيث يوجد جدول $T$ مكون من أعداد صحيحة وله $N$ صفوف و $100$ عمود، ويتميز بالخصائص التالية: يحتوي كل صف ل$\text{(1)}$ على الأعداد من $1$ إلى $100$ بترتيب معين. في $\text{(2)}$، لأي صفين مميزين $r$ و $s$, يوجد عمود $c$ بحيث $\|T(r,c) - T(s, c)\|\geq 2$. (هنا $T(r,c)$ هو العنصر في الصف $r$ والعمود $c$.	$\frac{100!}{2^{50}}$
top-ar-15	ليكن $R^+$ مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة. حدد جميع الدوال $f:R^+$ $\rightarrow$ $R^+$ بحيث أن لكل الأعداد الحقيقية الموجبة $x$ و $y$: $$f(x+f(xy))+y=f(x)f(y)+1$$	$f(x) = x + 1$
top-ar-16	هناك عدد صحيح $n > 1$. يوجد $n^2$ محطة على منحدر جبل، جميعها في ارتفاعات مختلفة. كل من شركتي عربات التلفريك، $A$ و $B$، تشغّل $k$ عربة تلفريك؛ كل عربة تلفريك تنقل من إحدى المحطات إلى محطة أعلى (بدون توقفات وسيطة). عربات التلفريك الـ $k$ الخاصة بشركة $A$ لديها $k$ نقاط انطلاق مختلفة و $k$ نقاط انتهاء مختلفة، والعربة التي تبدأ من نقطة أعلى تنتهي أيضًا في نقطة أعلى. نفس الشروط تنطبق على شركة $B$. نقول إن المحطتين متصلتان بواسطة شركة ما إذا كان بالإمكان البدء من المحطة السفلى والوصول إلى المحطة الأعلى باستخدام واحدة أو أكثر من عربات تلك الشركة (بدون تحركات أخرى بين المحطات مسموحة). حدد أصغر عدد صحيح موجب $k$ الذي يضمن وجود محطتين متصلتين بواسطة كلا الشركتين.	$n^2 - n + 1$
top-ar-17	يتم تعريف متتالية فيبوناتشي $F_0, F_1, F_2, . . . $ بالعلاقة التكرارية التالية: $F_0=0, F_1=1$، وبالنسبة لـ $n \ge 1$، $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$. بالنظر إلى عدد صحيح $n \ge 2$، حدد الحد الأدنى لحجم المجموعة $S$ بحيث لكل $k=2, 3, . . . , n$، يوجد بعض $x, y \in S$ بحيث $x-y=F_k$.	$\lceil \frac{n}{2} \rceil + 1$
top-ar-18	يقوم اللاعبان $A$ و $B$ بلعب لعبة على السبورة التي تحتوي في البداية على 2020 نسخة من الرقم 1. في كل جولة، يمحو اللاعب $A$ رقمين $x$ و $y$ من السبورة، ومن ثم يكتب اللاعب $B$ أحد الرقمين $x+y$ و $\|x-y\|$ على السبورة. تنتهي اللعبة بمجرد أن يتحقق أحد الشروط التالية في نهاية إحدى الجولات: $(1)$ يكون أحد الأرقام على السبورة أكبر من مجموع باقي الأرقام؛ $(2)$ الأرقام على السبورة هي أصفارًا فقط. يجب على اللاعب $B$ إعطاء اللاعب $A$ عدد من البسكويت يكافئ عدد الأرقام على السبورة. يريد اللاعب $A$ الحصول على أكبر عدد ممكن من البسكويت، في حين يريد اللاعب $B$ إعطاء أقل عدد ممكن. حدد عدد البسكويت التي يتلقاها $A$ إذا لعب كلا اللاعبين بشكل أمثل.	7
top-ar-19	البنك في باث يصدر عملات معدنية عليها حرف $H$ على أحد الجانبين وحرف $T$ على الجانب الآخر. هاري لديه $n$ من هذه العملات مرتبة في صف من اليسار إلى اليمين. يقوم بتكرار العملية التالية: إذا كان هناك بالضبط $k > 0$ عملات تظهر الحرف $H$، يقوم بقلب العملة ال$k$ من اليسار؛ وإلا، يعني أن جميع العملات تظهر الحرف $T$ فيتوقف. على سبيل المثال، إذا كان $n = 3$ وكانت البداية بالتكوين $THT$، فإن التسلسل سيكون: $THT \to HHT \to HTT \to TTT$، ويتوقف بعد ثلاث عمليات. (أ) أثبت أنه، لكل تكوين ابتدائي، سيتوقف هاري بعد عدد محدود من العمليات. (ب) لكل تكوين ابتدائي $C$، سنوضح أن $L(C)$ هو عدد العمليات قبل أن يتوقف هاري. على سبيل المثال، $L(THT) = 3$ و$L(TTT) = 0$. تحديد القيمة المتوسطة لـ $L(C)$ على جميع $2^n$ من التكوينات الأولية المحتملة $C$.	$\frac{n(n+1)}{4}$
top-ar-20	لأي عددين حقيقيين مختلفين $x$ و $y$، نعرّف $D(x,y)$ بأنه العدد الصحيح الفريد $d$ الذي يحقق $2^d \le \|x-y\| < 2^{d+1}$. معطى مجموعة من الأعداد الحقيقية $\mathcal F$، وعنصر $x \in \mathcal F$، نقول أن مستويات $x$ في $\mathcal F$ هي قيم $D(x,y)$ عندما $y \in \mathcal F$ و $x \neq y$. لنفترض أن $k$ هو عدد صحيح موجب معطى. نفترض أن كل عنصر $x$ من $\mathcal F$ لديه على الأكثر $k$ مستويات مختلفة في $\mathcal F$ (لاحظ أن هذه المستويات قد تعتمد على $x$). ما هو الحد الأقصى لحجم $\mathcal F$؟	$2^k$
top-ar-21	لنفرض أن $a_0,a_1,a_2,\dots $ هي متتالية من الأعداد الحقيقية بحيث أن $a_0=0, a_1=1,$، ولكل $n\geq 2$ يوجد $1 \leq k \leq n$ بحيث تحقق\[ a_n = \frac{a_{n-1} + \dots + a_{n-k}}{k}. \]أوجد القيمة العظمى الممكنة لـ $a_{2018}-a_{2017}$.	$\frac{2016}{2017^2}$
top-ar-22	لنفرض أن $q$ هو عدد حقيقي. غوجو معه منديل مكتوب عليه عشرة أعداد حقيقية مميزة، ويكتب على السبورة ثلاثة أسطر من الأعداد الحقيقية كما يلي: في السطر الأول، يكتب غوجو كل عدد من الشكل $a-b$، حيث $a$ و $b$ هما عددان (قد يكونان متماثلين) من الأعداد على منديله. في السطر الثاني، يكتب غوجو كل عدد من الشكل $qab$، حيث $a$ و $b$ هما عددان (قد يكونان متماثلين) من السطر الأول. في السطر الثالث، يكتب غوجو كل عدد من الشكل $a^2+b^2-c^2-d^2$، حيث $a, b, c, d$ هي أربعة أعداد (قد تكون متماثلة) من السطر الأول. حدد جميع القيم لـ $q$ بحيث، بغض النظر عن الأعداد الموجودة على منديل غوجو، كل عدد في السطر الثاني هو أيضاً عدد في السطر الثالث.	${-2,0,2}$
top-ar-23	ابحث عن أصغر ثابت $C > 0$ والذي من أجله يتحقق البيان التالي: من بين أي خمسة أعداد حقيقية موجبة $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ (قد تتكرر الأعداد)، يمكن دائمًا اختيار مؤشرات مختلفة $i,j,k,l$ بحيث: \[ \left\| \frac{a_i}{a_j} - \frac {a_k}{a_l} \right\| \le C. \]	$\frac{1}{2}$
top-ar-24	المعادلة $$(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots (x-2016)$$ مكتوبة على اللوح، وبها $2016$ عاملاً خطيًا على كل جانب. ما هو أقل قيمة ممكنة لـ $k$ بحيث يمكن محو بالضبط $k$ من هذه $4032$ العوامل الخطية بحيث يتبقى على الأقل عامل واحد على كل جانب وتكون المعادلة الناتجة بدون حلول حقيقية؟	2016
top-ar-25	ابحث عن أكبر ثابت حقيقي $a$ بحيث لكل $n \geq 1$ ولكل الأعداد الحقيقية $x_0, x_1, ... , x_n$ التي تحقق $0 = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n$ لدينا \[\frac{1}{x_1-x_0} + \frac{1}{x_2-x_1} + \dots + \frac{1}{x_n-x_{n-1}} \geq a \left( \frac{2}{x_1} + \frac{3}{x_2} + \dots + \frac{n+1}{x_n} \right)\]	$\frac{4}{9}$
top-ar-26	أوجد جميع الأعداد الصحيحة $n$ التي يمكن من خلالها ملء كل خلية من جدول $n \times n$ بإحدى الأحرف $I,M$ و$O$، بحيث: - في كل صف وكل عمود، يكون ثلث الخانات $I$ وثلث الخانات $M$ وثلث الخانات $O$؛ و في أي قطر، إذا كان عدد الخانات في القطر من مضاعفات الثلاثة، فإن ثلث الخانات هو $I$ وثلث الخانات هو $M$ وثلث الخانات هو $O$. ملاحظة: يتم تسمية الصفوف والأعمدة في جدول $n \times n$ بأرقام من $1$ إلى $n$ بترتيب طبيعي. وبالتالي، كل خلية تتوافق مع زوج من الأعداد الصحيحة الموجبة $(i,j)$ حيث $1 \le i,j \le n$. بالنسبة لـ $n>1$، يحتوي الجدول على $4n-2$ من الأقطار من نوعين. يتكون القطر من النوع الأول من جميع الخلايا $(i,j)$، وتكون القيمة $(i,j)$ عدد ثابت، والقطر من النوع الثاني يتكون من جميع الخلايا $(i,j)$، وتكون القيمة $i-j$ لديها ثابتة.	9
top-ar-27	ليكن $n$ عددًا صحيحًا موجبًا. حدد أصغر عدد صحيح موجب $k$ يملك الخاصية التالية: يمكن تعليم $k$ من الخلايا على لوحة $2n \times 2n$ بحيث يوجد تجزئة فريدة للوحة إلى دومينو $1 \times 2$ ودومينو $2 \times 1$، التي لا تحتوي أي منها على خليتين معلّمتين.	$2n$
top-ar-28	مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة تُسمى "عطرة" إذا كانت تحتوي على عنصرين على الأقل، وكان لكل عنصر فيها عامل أولي مشترك مع عنصر آخر على الأقل في المجموعة. نعتبر الدالة $P(n)=n^2+n+1$. ما هو أقل عدد صحيح موجب $b$ بحيث يوجد عدد صحيح غير سالب $a$ لتحقيق أن المجموعة $$\{P(a+1),P(a+2),\ldots,P(a+b)\}$$ عطرة؟	6
top-ar-29	لنكن $n$ عددًا صحيحًا موجبًا ثابتًا. أوجد أقصى قيمة ممكنة لـ\[ \sum_{1 \le r < s \le 2n} (s-r-n)x_rx_s, \]حيث $-1 \le x_i \le 1$ لكل $i = 1, \cdots , 2n$.	$n(n-1)$
top-ar-30	بالنسبة لمجموعة محدودة من الأعداد الصحيحة الموجبة $A$، إذا تم تقسيم $A$ إلى مجموعتين فرعيتين منفصلتين وغير فارغتين $A_1$ و $A_2$، وكان المضاعف المشترك الأصغر للعناصر في $A_1$ يساوي القاسم المشترك الأكبر للعناصر في $A_2$، فإن هذا التقسيم يسمى "جيدًا". يرجى تحديد الحد الأدنى لقيمة $n$ بحيث توجد مجموعة من $n$ الأعداد الصحيحة الموجبة مع $2015$ قسم "جيد" بالضبط.	3024
top-ar-31	لنرمز $\mathbb{Z}_{>0}$ لمجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة. لأي عدد صحيح موجب $k$, نقول عن دالة $f: \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0}$ أنها $k$-good إذا كانت $\gcd(f(m) + n, f(n) + m) \le k$ لكل $m \neq n$. ابحث عن جميع قيم $k$ التي يوجد لها دالة $k$-good.	$k \geq 2$
top-ar-32	لنفرض أن $n \ge 2$ عدد صحيح. تأمل في لوحة شطرنج بحجم $n \times n$ تتكون من $n^2$ مربعات وحدوية. تكون وضعية الـ $n$ قلعة على هذه اللوحة هادئة إذا كان كل صف وكل عمود يحتوي على قلعة واحدة بالضبط. أوجد أكبر عدد صحيح موجب $k$ بحيث أنه لكل تكوين هادئ للـ $n$ قلعة، هناك مربع بحجم $k \times k$ لا يحتوي على أي قلعة في أي من وحداته $k^2$.	$\left\lfloor \sqrt{n-1} \right\rfloor$
top-ar-33	ابحث عن جميع الأعداد الأولية $p>5$ بحيث يوجد عدد صحيح $a$ وعدد صحيح $r$ يحققان $1\leq r\leq p-1$ ولهما الخاصية التالية: يمكن إعادة ترتيب السلسلة $1,\,a,\,a^2,\,\ldots,\,a^{p-5}$ لتكوين سلسلة $b_0,\,b_1,\,b_2,\,\ldots,\,b_{p-5}$ بحيث أن $b_n-b_{n-1}-r$ قابل للقسمة على $p$ لكل $1\leq n\leq p-5$.	7
top-ar-34	لنفترض أن $c_0,\,c_1,\,c_2,\,\ldots$ هي متتالية معرفة بحيث أن\[ \frac{1-3x-\sqrt{1-14x+9x^2}}{4}=\sum_{k=0}^\infty c_kx^k \]بالنسبة لقيم $x$ الصغيرة بما فيه الكفاية. لنعتبر عددًا صحيحًا موجبًا $n$, لتكن $A$ هي مصفوفة بحجم $n$-بـ-$n$ بحيث تكون العنصر الموجود في الصف $i$ والعمود $j$ هو $c_{i+j-1}$، وذلك لكل $i$ و$j$ في المجموعة $\{1,\,\ldots,\,n\}$. أوجد محدد المصفوفة $A$.	$10^{\frac{n(n-1)}{2}}$
top-ar-35	ليكن $n$ عدداً صحيحاً موجباً. نعرف $a_{n,0}=1$. بالنسبة لـ $k \geq 0$، اختار عدداً صحيحاً $m_{n,k}$ عشوائياً وبشكل منتظم من المجموعة $\{1,\,\ldots,\,n\}$، وافترض\[a_{n,k+1}=\begin{cases} a_{n,k}+1, & \text{اذا كان $m_{n,k}>a_{n,k}$؛} \\ a_{n,k}, & \text{اذا كان $m_{n,k}=a_{n,k}$؛} \\ a_{n,k}-1, & \text{اذا كان $m_{n,k}<a_{n,k}$.}\end{cases}\]ليكن $E(n)$ القيمة المتوقعة لـ $a_{n,n}$. احسب \[\lim_{n\to\infty}\frac{E(n)}{n}.\]	$\frac{1 - e^{-2}}{2}$
top-ar-36	حدد أصغر عدد حقيقي موجب $r$ بحيث توجد دالتان قابلتان للاشتقاق $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ و$g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ تحققان الشروط التالية: (أ) $f(0)>0$، (ب) $g(0)=0$، (ج) $\left\|f^{\prime}(x)\right\| \leq\|g(x)\|$ لكل $x$، (د) $\left\|g^{\prime}(x)\right\| \leq \|f(x)\|$ لكل $x$، (هـ) $f(r)=0$.	$\frac{\pi}{2}$
top-ar-37	لعدد صحيح غير سالب $k$، ليكن $f(k)$ هو عدد الآحاد في التمثيل بالنظام الثلاثي للعدد $k$. جد جميع الأعداد العقدية $z$ بحيث يكون $$\sum_{k=0}^{3^{1010}-1}(-2)^{f(k)}(z+k)^{2023}=0$$	$-\frac{3^{1010}-1}{2}$ and $-\frac{3^{1010}-1}{2} \pm \frac{\sqrt{9^{1010}-1}}{4}i$
top-ar-38	لعدد صحيح غير سالب $n$ وتسلسل متزايد بصرامة من الأعداد الحقيقية $t_0, t_1, \ldots, t_n$، لنعرّف الدالة الحقيقية $f(t)$ المعرفة من أجل $t \geq t_0$ بالخصائص التالية: (أ) $f(t)$ مستمرة من أجل $t \geq t_0$ وقابلة للاشتقاق مرتين لكل $t>t_0$ باستثناء $t_1, \ldots, t_n$; (ب) $f\left(t_0\right)=1 / 2$; (ج) $\lim _{t \rightarrow t_k^{+}} f^{\prime}(t)=0$ لكل $0 \leq k \leq n$; (د) بالنسبة لكل $0 \leq k \leq n-1$ لدينا $f^{\prime \prime}(t)=k+1$ عندما $t_k<t<t_{k+1}$، و $f^{\prime \prime}(t)=n+1$ عندما $t>t_n$. مع مراعاة جميع اختيارات $n$ و $t_0, t_1, \ldots, t_n$ بحيث يكون $t_k \geq t_{k-1}+1$ لكل $1 \leq k \leq n$، ما هي أقل قيمة ممكنة لـ $T$ التي من أجلها $f\left(t_0+T\right)=2023$؟	29
top-ar-39	نفرض أن $n$ عدد صحيح حيث $n \geq 2$. بالنظر إلى جميع كثيرات الحدود الحقيقية $p(x)$ من الدرجة $n$, ما هو أكبر عدد ممكن من المعاملات السالبة لـ $p(x)^2$؟	$2n-2$
top-ar-40	بالنسبة لـ $0 \leq p \leq 1/2,$ لتكن $X_1, X_2, \ldots$ متغيرات عشوائية مستقلة بحيث $$X_i=\begin{cases} 1 & \text{with probability } p, \-1 & \text{with probability } p, \0 & \text{with probability } 1-2p, \end{cases} $$ لكل $i \geq 1.$ بالنظر إلى عدد صحيح موجب $n$ والأعداد الصحيحة $b,a_1, \ldots, a_n,$ ليكن $P(b, a_1, \ldots, a_n)$ يمثل احتمال أن $a_1X_1+ \ldots + a_nX_n=b.$ لأي قيم من $p$ يكون $$P(0, a_1, \ldots, a_n) \geq P(b, a_1, \ldots, a_n)$ لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة $n$ وجميع الأعداد الصحيحة $b, a_1, \ldots, a_n؟$	$p \leq \frac{1}{4}$
top-ar-41	يبدأ الجراد من الأصل في المستوى الإحداثي وينفذ سلسلة من القفزات. طول كل قفزة هو $5$، وبعد كل قفزة يكون الجراد في نقطة إحداثياتها كلاهما أعداد صحيحة؛ وبالتالي، هناك 12 موقعًا ممكنًا للجراد بعد القفزة الأولى. ما هو أقل عدد من القفزات المطلوبة للجراد للوصول إلى النقطة $(2021,2021)$؟	578
top-ar-42	لكل عدد حقيقي موجب $x$، ليكن\[g(x)=\lim_{r\to 0} ((x+1)^{r+1}-x^{r+1})^{\frac{1}{r}}.\] أوجد \[ \lim_{x\to \infty} \frac{g(x)}{x}. \]	$e$
top-ar-43	لدينا\[I(R)=\iint\limits_{x^2+y^2 \le R^2}\left(\frac{1+2x^2}{1+x^4+6x^2y^2+y^4}-\frac{1+y^2}{2+x^4+y^4}\right) dx dy.\]أوجد\[\lim_{R \to \infty}I(R),\]	$\frac{\pi \ln 2}{\sqrt{2}}$
top-ar-44	افترض أن المستوي مغطى رقعة الشطرنج لا نهائية تتكون من المربعات الوحدة. إذا سقط مربع آخر ذو مساحة وحدة على المستوي بشكل عشوائي مع أن الوضعية والاتجاه لا يتأثران بتوزيع مربعات الشطرنج، فما هو احتمال أنه لا يغطي أيًا من زوايا مربعات رقعة الشطرنج؟	$2 - \frac{6}{\pi}$
top-ar-45	بالنسبة لعدد صحيح موجب $N$، دع $f_N$ يكون الدالة المعرفة بواسطة\[ f_N (x)=\sum_{n=0}^N rac{N+1/2-n}{(N+1)(2n+1)} \sin\left((2n+1)x \right). \]. حدد أصغر ثابت $M$ بحيث $f_N (x)\le M$ لكل $N$ ولكل $x$ حقيقي.	$\frac{\pi}{4}$
top-ar-46	لتكن $n$ عددًا صحيحًا موجبًا، ولتكن $V_n$ مجموعة التوابع الزوجية للعدد الصحيح $(2n+1)$ $\mathbf{v}=(s_0,s_1,\cdots,s_{2n-1},s_{2n})$ حيث $s_0=s_{2n}=0$ و $\|s_j-s_{j-1}\|=1$ لكل $j=1,2,\cdots,2n$. عرِّف\[q(\mathbf{v})=1+\sum_{j=1}^{2n-1}3^{s_j},\]وليكن $M(n)$ متوسط $\frac{1}{q(\mathbf{v})}$ لجميع $\mathbf{v}\in V_n$. أوجد قيمة $M(2020)$.	$\frac{1}{4040}$
top-ar-47	دَع $\mathbb{Z}^2$ تكون مجموعة جميع النقاط $(x,y)$ في المستوى التي لها إحداثيات صحيحة. لكل عدد صحيح $n \geq 0$, دع $P_n$ تكون مجموعة جزئية من $\mathbb{Z}^2$ تتكون من النقطة $(0,0)$ مع جميع النقاط $(x,y)$ التي يحقق فيها $x^2 + y^2 = 2^k$ لبعض العدد الصحيح $k \leq n$. حدد، كدالة تعتمد على $n$, عدد المجموعات الجزئية ذات الأربع نقاط من $P_n$ التي تكون عناصرها رؤوس مربع.	$5n+1$
top-ar-48	لكل $n \ge 1$، لنعرّف $a_n=\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\sin(\frac{(2k-1)\pi}{2n})}{\cos^2(\frac{(k-1)\pi}{2n})\cos^2(\frac{k\pi}{2n})}$. احسب $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{n^3}$.	$\frac{8}{\pi^3}$
top-ar-49	حدد أكبر قيمة ممكنة لـ $\sum_{i = 1}^{10} \cos(3x_i)$ للأعداد الحقيقية $x_1, x_2, \dots, x_{10}$ التي تحقق $\sum_{i = 1}^{10} \cos(x_i) = 0$.	$\frac{480}{49}$
top-ar-50	ابحث عن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة $n < 10^{100}$ والتي تحقق الشرطين التاليين معًا: أن $n$ يقسم $2^n$، و $n-1$ يقسم $2^n - 1$، و $n-2$ يقسم $2^n - 2$.	$2^{2^l}$ for $l=1,2,4,8$
top-ar-51	يتم تمييز $30$ حافة من عشريني السطوح المنتظم عن طريق تسميتها $1,2,\dots,30.$. كم عدد الطرق المختلفة لطلاء كل حافة باللون الأحمر أو الأبيض أو الأزرق بحيث أن كل من الأوجه المثلثة العشرين لعشريني السطوح المنتظم يحتوي على حافتين لهما نفس اللون، والحافة الثالثة بلون مختلف؟	$2^{20}3^{10}$
top-ar-52	افترض أن عددًا صحيحًا موجبًا $N$ يمكن التعبير عنه كمجموع $k$ أعداد صحيحة موجبة متتالية \[N = a + (a + 1) + (a + 2) + \cdots + (a + k - 1)\] حيث $k=2017$ ولكن ليس لأي قيم أخرى لـ $k>1$. بالنظر إلى جميع الأعداد الصحيحة الموجبة $N$ التي تتميز بهذه الخاصية، ما هو أصغر عدد صحيح موجب $a$ يظهر في أي من هذه التعبيرات؟	16
top-ar-53	خط في مستوى مثلث $T$ يُسمى خط معادل إذا قسَّم $T$ إلى منطقتين متساويتين في المساحة والمحيط. جد الأعداد الصحيحة الموجبة $a>b>c$ بحيث تكون $a$ صغيرة قدر الإمكان، ويوجد مثلث بأطوال الأضلاع $a,b,c$ الذي له خطان معادلان مختلفان تمامًا.	$(a,b,c)=(9,8,7)$
top-ar-54	أوجد عدد العناصر المرتبة $64$-tuples $\{x_0,x_1,\dots,x_{63}\}$ التي تحقق الشروط، بحيث تكون $x_0,x_1,\dots,x_{63}$ عناصر مختلفة في المجموعة $\{1,2,\dots,2017\}$، و\[x_0+x_1+2x_2+3x_3+\cdots+63x_{63}\] قابلة للقسمة على $2017$.	$\frac{2016!}{1953!}-2016\cdot 63!$
top-ar-55	ابحث عن أصغر عدد صحيح موجب $j$ بحيث أن لكل كثير حدود $p(x)$ ذو معاملات صحيحة ولكل عدد صحيح $k,$ فإن العدد \[ p^{(j)}(k)=\left. \frac{d^j}{dx^j}p(x) \right\|_{x=k} \] (وهو المشتقة $j$ لكثير الحدود $p(x)$ عند $k$) يكون قابلاً للقسمة على $2016.$	8
top-ar-56	ابحث عن أصغر ثابت $C$ بحيث لكل كثيرة حدود حقيقية $P(x)$ ، من الدرجة الثالثة، التي لها جذر في الفترة $\[0,1]$، ينطبق الآتي: \[\int_0^1\|P(x)\|\,dx\le C\max_{x\in[0,1]}\|P(x)\|.\]	$\frac{5}{6}$
top-ar-57	لتكن $A$ عبارة عن مصفوفة بحجم $2n\times 2n$، مع عناصر تم اختيارها بشكل مستقل وعشوائي. يتم اختيار كل عنصر ليكون $0$ أو $1$، كل منهما باحتمال $1/2$. أوجد القيمة المتوقعة لـ $\det(A-A^t)$ (كدالة في $n$)، حيث أن $A^t$ هو الترانس بوز للـ $A$.	$\frac{(2n)!}{4^nn!}$
top-ar-58	احسب \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{k2^n+1}.\]	1
top-ar-59	احسب\[\log_2\left(\prod_{a=1}^{2015}\prod_{b=1}^{2015}\left(1+e^{2\pi iab/2015}\right)\right)\] حيث $i$ هو الوحدة التخيلية (أي $i^2=-1$).	13725
top-ar-60	لتكن $T$ مجموعة جميع التراتيب الثلاثية $(a,b,c)$ من الأعداد الصحيحة الموجبة التي يمكن أن تكون أطوال أضلاع لمثلثات. عبّر عن\[\sum_{(a,b,c)\in T}\frac{2^a}{3^b5^c}\]كعدد نسبي في أبسط صورة.	$\frac{17}{21}$
top-ar-61	لتكن $P_n$ هي عدد التباديل $\pi$ لمجموعة $\{1,2,\dots,n\}$ بحيث \[\|i-j\|=1 \text{ يعطي أن } \|\pi(i)-\pi(j)\|\le 2\] لكل $i,j$ في $\{1,2,\dots,n\}$. أثبت أنه عندما $n \ge 2،$ فإن الكمية \[P_{n+5}-P_{n+4}-P_{n+3}+P_n\] لا تعتمد على $n$، وحدد قيمتها.	4
top-ar-62	لكل عدد صحيح موجب $k$، دع $A(k)$ يمثل عدد القواسم الفردية ل $k$ في الفترة $\left[1,\sqrt{2k}\right)$ احسب: \[\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{A(k)}{k}.\]	$\frac{\pi^2}{16}$
top-ar-63	أوجد أصغر قيمة لـ $\lambda \in \mathbb{R}$ بحيث لأي $n \in \mathbb{N}_+$، يوجد $x_1, x_2, \ldots, x_n$ بحيث أن $n = x_1 x_2 \ldots x_{2023}$، حيث $x_i$ إما عدد أولي أو عدد صحيح موجب لا يتجاوز $n^\lambda$ لكل $i \in \left\{ 1,2, \ldots, 2023 \right\}$.	$\frac{1}{1012}$
top-ar-64	ابحث عن أكبر عدد حقيقي $c$ بحيث يتحقق التالي$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(n-\|i-j\|)x_ix_j \geq c\sum_{i=1}^{n}x^2_i$$ لأي عدد صحيح موجب $n$ ولأي أعداد حقيقية $x_1, x_2, \dots, x_n$.	$\frac{1}{2}$
top-ar-65	ليكن $p \geqslant 5$ عددًا أوليًّا و $S = \left\{ 1, 2, \ldots, p \right\}$. عرّف $r(x,y)$ كما يلي:\[ r(x,y) = \begin{cases} y - x & y \geqslant x \\ y - x + p & y < x \end{cases}.\] بالنسبة لمجموعة غير فارغة $A$ من $S$، عرّف $$f(A) = \sum_{x \in A} \sum_{y \in A} \left( r(x,y) \right)^2.$$ مجموعة $S$ الجيدة هي مجموعة غير فارغة $A$ تحقق الشرط التالي لكل المجموعات $B \subseteq S$ من نفس الحجم كـ $A$، $f(B) \geqslant f(A)$. أوجد أكبر عدد صحيح $L$ بحيث توجد مجموعات جيدة متماثلة $A_1 \subseteq A_2 \subseteq \ldots \subseteq A_L$.	$2[\log_2(p+1)]$
top-ar-66	افترض أن $P$ مضلع منتظم ذو $99$ ضلعا. قم بتعيين الأرقام من $1$ إلى $99$ لرؤوس $P$ بحيث يظهر كل رقم مرة واحدة بالضبط. (إذا تماثلت توزيع الأرقام عند الدوران، اعتبرهما متماثلتين.) اُنظر إلى العملية على أنها تبديل للأرقام المعينة إلى زوج من الرؤوس المتجاورة في $P$. جد أصغر عدد صحيح $n$ بحيث يمكن الوصول إلى أي تعيين آخر من تعيين معين بأقل من $n$ عمليات.	2401
top-ar-67	ابحث عن أصغر عدد صحيح موجب $n\ge 3$، بحيث توجد $n$ نقاط $A_1, A_2, \cdots, A_n$ لا تقع أي ثلاث نقاط منها على استقامة واحدة، ولأي $1\le i\le n$، يوجد $1\le j\le n (j\neq i)$، حيث يمر القطعة $A_jA_{j+1}$ من منتصف القطعة $A_iA_{i+1}$، حيث $A_{n+1}=A_1$.	6
top-ar-68	أوجد أكبر عدد حقيقي $\lambda$ يتمتع بالخاصية التالية: لأي أعداد حقيقية موجبة $p,q,r,s$ يوجد عدد مركب $z=a+bi$($a,b\in \mathbb{R})$ بحيث$$ \|b\|\ge \lambda \|a\| \quad \text{و} \quad (pz^3+2qz^2+2rz+s) \cdot (qz^3+2pz^2+2sz+r) =0.$$	$\sqrt{3}$
top-ar-69	ابحث عن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة $a$ بحيث يوجد مجموعة $X$ مكونة من $6$ أعداد صحيحة تستوفي الشروط التالية: لكل $k=1,2,\ldots ,36$ هناك $x, y \in X$ بحيث أن $ax+y-k$ يقبل القسمة على $37$.	$a \equiv \pm6 \pmod{37}$
top-ar-70	لتكن $S$ مجموعة، حيث $\|S\|=35$. تُسمى مجموعة $F$ من التوابع من $S$ إلى نفسها بأنها تحقق الخاصية $P(k)$، إذا ولأي $x, y \in S$، يوجد $f_1, \cdots, f_k \in F$ (ليس بالضرورة أن تكون مختلفة)، بحيث أن $f_k(f_{k-1}(\cdots (f_1(x))))=f_k(f_{k-1}(\cdots (f_1(y))))$. اوجد أقل عدد صحيح موجب $m$، بحيث إذا كانت $F$ تحقق الخاصية $P(2019)$، فإنها تحقق أيضًا الخاصية $P(m)$.	595
top-ar-71	عندنا لوح بحجم $n\times n$، وكل شبكة تحتوي على عدد صحيح. في كل حركة، أستطيع اختيار أي شبكة وإضافة $1$ إلى جميع الأعداد في صفها وعمودها، أي ما مجموعه $2n-1$ عددًا. أوجد أكبر قيمة لـ $N(n)$ بحيث أنه لأي اختيار مبدئي للأعداد، أستطيع أن أقوم بعدد محدود من الحركات بحيث يكون هناك على الأقل $N(n)$ عددًا زوجيًا على اللوح.	$n^2 - n + 1$
top-ar-72	لنفرض أن $n \geq 3$ هو عدد فردي ولنفترض أن كل مربع في لوحة شطرنج بحجم $n \times n$ ملون إما بالأسود أو بالأبيض. تعتبر مربعات المربعات متجاورة إذا كانت من نفس اللون وتشترك في قمة مشتركة، ويعتبر مربعاها $a$ و$b$ متصلين إذا وجدت سلسلة من المربعات $c_1, \ldots, c_k$ بحيث يكون $c_1 = a$ و$c_k = b$ حيث $c_i$ و$c_{i+1}$ متجاورين لكل $i = 1, 2, \ldots, k-1$. أوجد العدد الأقصى $M$ بحيث توجد تلوين يسمح بوجود $M$ مربعات غير متصلة بشكل زوجي.	$\frac{(n+1)^2}{4} + 1$
top-ar-73	ليكن $n \geq 5$ عدد صحيح موجب، وليكن $A$ و $B$ مجموعتين من الأعداد الصحيحة تلبّيان الشروط التالية: i) $\|A\| = n$، $\|B\| = m$ و $A$ مجموعة جزئية من $B$ ii) لأي عنصرين متمايزين $x,y \in B$، يكون $x+y \in B$ إذا وفقط إذا كان $x,y \in A$ حدد القيمة الصغرى لـ $m$.	$3n-3$
top-ar-74	حدد جميع الأعداد الصحيحة $k$ بحيث يوجد لانهائي عدد صحيح موجب $n$ لا يحقق\[n+k \|\binom{2n}{n}\]	$k \neq 1, k \in \mathbb{Z}$
top-ar-75	يوجد $30$ طالبًا بحيث يكون لكل طالب على الأكثر $5$ أصدقاء، ولكل $5$ طلاب هناك زوج من الطلاب الذين ليسوا أصدقاء. حدد القيمة العظمى $k$ بحيث أنه في جميع التكوينات الممكنة، يوجد $k$ طالبًا ليسوا أصدقاء لبعضهم البعض جميعًا.	6
top-ar-76	لنفرض أن $p$ عدد أولي. نرتب الأرقام في المجموعة ${\{1,2,\ldots ,p^2} \}$ على شكل مصفوفة $p \times p$ ونسميها $A = ( a_{ij} )$. بعد ذلك، يمكننا اختيار أي صف أو عمود وإضافة $1$ لكل رقم فيه، أو طرح $1$ من كل رقم فيه. نسمي الترتيب جيدًا إذا كان بإمكاننا تحويل كل رقم في المصفوفة إلى $0$ بعدد محدود من هذه الخطوات. كم عدد الترتيبات الجيدة الموجودة؟	$2(p!)^2$
top-ar-77	لنفرض أن $f(x)=(x + a)(x + b)$ حيث $a,b>0$. لأية أعداد حقيقية $x_1,x_2,\ldots ,x_n\geqslant 0$ بحيث $x_1+x_2+\ldots +x_n =1$، أوجد القيمة القصوى لـ $F=\sum\limits_{1 \leqslant i < j \leqslant n} {\min \left\{ {f({x_i}),f({x_j})} \right\}} $.	$\frac{n-1}{2} \left( \frac{1}{n} + a + b + nab \right)$
top-ar-78	أوجد أصغر عدد صحيح موجب $k$ بحيث أنه لأي مجموعة جزئية $A$ من $S=\{1,2,\ldots,2012\}$ حيث $\|A\|=k$، يوجد ثلاثة عناصر $x, y, z$ في $A$ بحيث أن $x = a + b$, $y = b + c$, $z = c + a$، حيث $a, b, c$ هي عناصر في $S$ وأعداد صحيحة مختلفة.	1008
top-ar-79	لنفرض أن $n$ هو عدد صحيح موجب معين، والمجموعة $S=\{1,2,\cdots,n\}$. لأي مجموعة غير فارغة $A$ و $B$، أوجد الحد الأدنى للقيمة $\|A\Delta S\| + \|B\Delta S\| + \|C\Delta S\|$، حيث $C=\{a+b \mid a\in A, b\in B\}$، و $X\Delta Y=X\cup Y - X\cap Y$.	$n+1$
top-ar-80	لنفرض أن $a_i,b_i,i=1,\cdots,n$ هم أعداد غير سلبية، و $n\ge 4$، بحيث أن $a_1+a_2+\cdots+a_n=b_1+b_2+\cdots+b_n>0$. أوجد القيمة القصوى للتعبير $\frac{\sum_{i=1}^n a_i(a_i+b_i)}{\sum_{i=1}^n b_i(a_i+b_i)}$.	$n-1$
top-ar-81	بالنظر إلى الأعداد الصحيحة الموجبة $k \ge 2$ و $m$ كبير بما فيه الكفاية. لنفرض أن $\mathcal{F}_m$ هي مجموعة غير محدودة من جميع المصفوفات الثنائية (ليس بالضرورة أن تكون مربعة) التي تحتوي على $m$ دخول من العدد 1 بالضبط. نرمز بـ $f(m)$ إلى أكبر عدد صحيح $L$ بحيث أنه لكل مصفوفة $A \in \mathcal{F}_m$، يوجد دائمًا مصفوفة ثنائية $B$ من نفس الأبعاد تحقق الشروط التالية: (1) تحتوي $B$ على الأقل على $L$ دخول من العدد 1؛ (2) كل عنصر من عناصر $B$ أقل أو يساوي العنصر المقابل له في $A$؛ (3) لا تحتوي $B$ على أي جزء فرعي بحجم $k \times k$ مكون بالكامل من العدد 1. حدد \[\lim_{m \to \infty} \frac{\ln f(m)}{\ln m}\]	$\frac{k}{k+1}$
top-ar-82	افترض أن $A$ مجموعة فرعية منتهية من $\mathbb{R}^d$ بحيث: (أ) كل ثلاث نقاط متميزة في $A$ تحتوي على نقطتين تكون المسافة بينهما بالضبط وحدة واحدة (ب) معيار إقليدي لكل نقطة $v$ في $A$ يحقق \[\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2\vert A\vert}} \le \\|v\\| \le \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2\vert A\vert}}.\] أوجد الحد الأقصى لعدد عناصر $A$.	$2d+4$
top-ar-83	لنفرض أن $M(t)$ دالة قابلة للقياس ومحليًا محدودة، أي\[M(t) \le C_{a,b}, \quad \forall 0 \le a \le t \le b<\infty\] لبعض الأعداد الثابتة معين $C_{a,b}$، من $[0,\infty)$ إلى $[0,\infty)$ بحيث\[M(t) \le 1+\int_0^t M(t-s)(1+t)^{-1}s^{-1/2} ds, \quad \forall t \ge 0.\]. أوجد القيمة العظمى لـ $M(t)$ عندما يكون $t \ge 0$.	$10+2\sqrt{5}$
top-ar-84	لتكن $M=\bigoplus_{i \in \mathbb{Z}} \mathbb{C}e_i$ فضاءً متجهيًا غير منتهٍ أبعاده على $\mathbb{C}$، ولتكن $\text{End}(M)$ جبر $\mathbb{C}$ من التشكلات البديهية الخطية على $M$. لنفرض أن $A$ و$B$ عنصران يتبادلان المواقع في $\text{End}(M)$ ويحققان الشرط التالي: توجد أعداد صحيحة $m \le n < 0 < p \le q$ تحقق $\text{gd}(-m,p)=\text{gcd}(-n,q)=1$ ومثلًا لكل $j \in \mathbb{Z}$ يكون عندنا\[Ae_j=\sum_{i=j+m}^{j+n} a_{i,j}e_i, \quad \text{with } a_{i,j} \in \mathbb{C}, a_{j+m,j}a_{j+n,j} \ne 0,\]\[Be_j=\sum_{i=j+p}^{j+q} b_{i,j}e_i، \quad مع وجود } b_{i,j} \in \mathbb{C}, b_{j+p,j}b_{j+q,j} \ne 0.\] لنفترض أن $R \subset \text{End}(M)$ هو الجبر الجزئي على $\mathbb{C}$ المتولد عن $A$ و$B$. نلاحظ أن $R$ هو تبادلي ويمكن اعتبار $M$ كـ $R$-وحدة. لنفرض $K$ هو الحقل الكسري من $R$، و$M \otimes_R K$ هو فضاء متجه على $K$ بأبعاد $h$. ما هي قيمة $h$؟	1
top-ar-85	اعتبر لوحًا من المربعات بقياس $n$-في-$n$ لبعض العدد الصحيح الموجب الفردي $n$. نقول بأن مجموعة $C$ من الدومينو المتطابقة هي تكوين شبكي-محاذاة أقصى على اللوح إذا كانت $C$ تتكون من $(n^2-1)/2$ دومينو حيث يغطي كل دومينو مربعين متجاورين بالضبط ولا تتداخل الدومينوات: حينها تغطي $C$ جميع المربعات ما عدا مربع واحد على اللوح. يُسمح لنا بتحريك (لكن ليس تدوير) دومينو على اللوح لتغطية المربع غير المغطى، مما ينتج عن تكوين شبكي-محاذاة أقصى جديد بمربع آخر غير مغطي. لنرمز بـ $k(C)$ عدد التكوينات الشبكية-المحاذاة القصوى المختلفة التي يمكن الحصول عليها من $C$ عن طريق تحريك الدومينو بشكل متكرر. أوجد القيمة القصوى لـ $k(C)$ كدالة في $n$.	$(\frac{n+1}{2})^2$
top-ar-86	ابحث عن جميع الأزواج من الأعداد الأولية $(p, q)$ بحيث يكون $p-q$ و $pq-q$ كلاهما مربعات كاملة.	$(3,2)$
top-ar-87	مجموعة منتهية $S$ من النقاط في المستوى الإحداثي تُسمى "مبالغ فيها" إذا كان $\|S\|\ge 2$ ويوجد كثير حدود $P(t)$ غير صفري، بمعاملات حقيقية ودرجة لا تزيد عن $\|S\|-2$، ويحقق $P(x)=y$ لكل نقطة $(x,y)\in S$. لكل عدد صحيح $n\ge 2$ ، جد أكبر عدد صحيح $k$ (بدلالة $n$) بحيث يوجد مجموعة من $n$ نقاط متميزة ليست مبالغ فيها، ولكن لها $k$ من المجموعات الفرعية المبالغ فيها.	$2^{n-1} - n$
top-ar-88	ابحث عن جميع الدوال كثيرات الحدود $P$ ذات المعاملات الحقيقية بحيث تحقق المعادلة التالية\[ \frac{P(x)}{yz} + \frac{P(y)}{zx} + \frac{P(z)}{xy} = P(x-y) + P(y-z) + P(z-x) \] لجميع الأعداد الحقيقية غير الصفرية $x,y,z$ التي تحقق $ 2xyz = x+y+z$.	$P(x)=c(x^2+3)$ for any constant $c$
top-ar-89	ابحث عن جميع الدوال $f:(0,\infty) \to (0,\infty)$ بحيث\[ f\left(x+\frac{1}{y}\right)+f\left(y+\frac{1}{z}\right) + f\left(z+\frac{1}{x}\right) = 1 \] لكل $x,y,z >0$ مع $xyz = 1.$	$f(x) = \frac{k}{1+x} + \frac{1-k}{3} \left( -\frac{1}{2} \le k \le 1 \right)$
top-ar-90	لتكن $\mathbf{Z}$ هي مجموعة جميع الأعداد الصحيحة. جد جميع الأعداد الحقيقية $c > 0$ بحيث توجد تسمية لنقاط الشبكة $( x, y ) \in \mathbf{Z}^2$ باستخدام الأعداد الصحيحة الموجبة والتي تتحقق فيها الشروط التالية: تظهر فقط عدد محدود من التسميات المختلفة، ولكل تسمية $i$، تكون المسافة بين أي نقطتين تحملان التسمية $i$ لا تقل عن $c^i$.	$0 < c < \sqrt{2}$
top-ar-91	ابحث عن الحد الأدنى للقيمة الممكنة لمقدار \[\frac{a}{b^3+4}+\frac{b}{c^3+4}+\frac{c}{d^3+4}+\frac{d}{a^3+4},\] مع الأخذ في الاعتبار أن $a,b,c,d$ هي أعداد حقيقية غير سالبة بحيث $a+b+c+d=4$.	$\frac{2}{3}$
top-ar-92	لتكن المجموعة $S = \{1, 2, ..., n\}$ حيث $n \ge 1$. كل واحدة من $2^n$ من المجموعات الجزئية لـ $S$ يجب أن تُلون بالأحمر أو الأزرق. (المجموعة الجزئية نفسها تُعطى لونًا وليس عناصرها الفردية). لأي مجموعة $T \subseteq S$ نكتب $f(T)$ لتمثيل عدد المجموعات الجزئية لـ $T$ التي هي زرقاء. حدد عدد طرق التلوين التي تحقق الشرط التالي: لأي مجموعتين جزئيتين $T_1$ و $T_2$ من $S$, \[f(T_1)f(T_2) = f(T_1 \cup T_2)f(T_1 \cap T_2).\]	$1 + 3^n$
top-ar-93	لتكن $\mathbb{Z}$ مجموعة الأعداد الصحيحة. جد جميع الدوال $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ بحيث تحقق المعادلة: \[xf(2f(y)-x)+y^2f(2x-f(y))=\frac{f(x)^2}{x}+f(yf(y))\] لكل $x, y \in \mathbb{Z}$ حيث $x \neq 0$.	$f(x)=0$ and $f(x)=x^2$
top-ar-94	لنكن $k$ عددًا صحيحًا موجبًا. يلعب اللاعبان $A$ و $B$ لعبةً على شبكةٍ لا نهائية من المسدسات المنتظمة. في البداية، تكون جميع خلايا الشبكة فارغة. ثم يتناوب اللاعبان في اتخاذ الأدوار بدءًا من $A$. في دوره، يمكن لـ $A$ أن يختار مسدسين متجاورين في الشبكة الفارغة ويضع عليهما قطعتي لعب. أما في دوره، فيمكن لـ $B$ أن يختار أي قطعة على اللوحة ويزيلها. إذا وُجد في أي لحظة $k$ خلايا متتالية في خط مستقيم تحتوي جميعها على قطعة لعب، يفوز $A$. ابحث عن القيمة الدنيا لـ $k$ التي لا يمكن لـ $A$ أن يفوز فيها بعدد محدود من التنقلات، أو أثبت أن هذه القيمة الدنيا غير موجودة.	6
top-ar-95	$2010$ عدد موجب $a_1, a_2, \ldots, a_{2010}$ تُحقق المتباينة $a_ia_j \le i+j$ لجميع المؤشرات المميزة $i, j$. حدد، مع البرهان، أكبر قيمة ممكنة للضرب $a_1a_2\cdots a_{2010}$.	$\prod_{i=1}^{1005}(4i-1)$
top-ar-96	تحتوي السبورة على 68 زوجًا من الأعداد الصحيحة غير الصفرية. لنفترض أنه لكل عدد صحيح موجب $k$، لا يُكتب على السبورة أكثر من أحد الزوجين $(k, k)$ و$(-k, -k)$. يقوم طالب بمسح بعض الأعداد من بين الـ 136 عددًا، بشرط أن لا يُمسح أي عددين مجموعهما يساوي 0. بعد ذلك، يحصل الطالب على نقطة واحدة عن كل زوج من الـ 68 زوجًا الذي يتم فيه مسح عدد واحد على الأقل. حدد، مع الدليل، أكبر عدد $N$ من النقاط التي يمكن للطالب أن يضمن الحصول عليها بغض النظر عن الأزواج الـ 68 المكتوبة على السبورة.	43
top-ar-97	بالنسبة لعدد أولي $p$، لنفرض أن $\mathbb{F}_p$ تشير إلى الأعداد الصحيحة بترديد $p$، وأن $\mathbb{F}_p[x]$ هي مجموعة متعددات الحدود بمعاملات في $\mathbb{F}_p$. جد كل $p$ التي من أجلها يوجد متعدد حدود من الدرجة الرابعة $P(x) \in \mathbb{F}_p[x]$ بحيث لكل عدد صحيح $k$، يوجد عدد صحيح $\ell$ حيث $P(\ell) \equiv k \pmod p$. (لاحظ أن هناك $p^4(p-1)$ متعددات حدود من الدرجة الرابعة في $\mathbb{F}_p[x]$ بشكل إجمالي.)	${2,3,7}$
top-ar-98	جد أصغر عدد صحيح موجب $M$ بحيث يوجد عدد صحيح موجب $n$ ومتعددات حدود $P_1(x)$، $P_2(x)$، $\ldots$، $P_n(x)$ بمعاملات عددية صحيحة تحقق\[Mx=P_1(x)^3+P_2(x)^3+\cdots+P_n(x)^3.\]	6
top-ar-99	افترض أن $\mathcal{P}$ هو مضلع منتظم ذو $2022$ ضلع ومساحته تساوي $1$. جد عددًا حقيقيًا $c$ بحيث أن اختيار النقاط $A$ و $B$ بشكل مستقل وبشكل موحد عشوائيًا على محيط $\mathcal{P}$، تكون احتمالية أن يكون $AB \geq c$ هي $\frac{1}{2}$.	$\sqrt{\frac{2}{\pi}}$

End of preview. Expand in Data Studio

PolyMath: Evaluating Mathematical Reasoning in Multilingual Contexts

PolyMath is a multilingual mathematical reasoning benchmark covering 18 languages and 4 easy-to-hard difficulty levels. Our benchmark ensures difficulty comprehensiveness, language diversity, and high-quality translation, making it a highly discriminative multilingual mathematical benchmark in the era of reasoning LLMs.

📈 Broad Difficulty Range: PolyMath defines and partitions mathematical difficulty across four levels using two core dimensions: Thought Depth and Knowledge Breadth, ranging from K-12 to Olympiad and advanced frontier mathematics, with 125 problems per language at each level.

🌍 Language Diversity: Each problem in PolyMath is available in 18 parallel language versions, encompassing over 75% of the world’s native speakers and major language families, ensuring diversity across both high-resource and low-resource languages.

🧑‍🏫 High-Quality Annotation: Each problem translation is calibrated by language experts, avoiding direct use of LLM-generated outputs and ensuring precise term and logical clarity.

📊 Main Results

The leaderboard is continuously updated! See https://qwen-polymath.github.io/#leaderboard

📄 Citation

If you use PolyMath in your research, please cite us:

@article{wang2025polymath,
  title={PolyMath: Evaluating Mathematical Reasoning in Multilingual Contexts},
  author={Yiming Wang and Pei Zhang and Jialong Tang and Haoran Wei and Baosong Yang and Rui Wang and Chenshu Sun and Feitong Sun and Jiran Zhang and Junxuan Wu and Qiqian Cang and Yichang Zhang and Fei Huang and Junyang Lin and Fei Huang and Jingren Zhou},
  journal={arXiv preprint arXiv:2504.18428},
  year={2025},
  primaryClass={cs.CL},
  url={https://arxiv.org/abs/2504.18428}, 
}

Downloads last month: 120

Size of downloaded dataset files:

2.27 MB

Size of the auto-converted Parquet files:

2.27 MB

Number of rows:

9,000

Paper for Alsace08/PolyMath

PolyMath: Evaluating Mathematical Reasoning in Multilingual Contexts

Paper • 2504.18428 • Published Apr 25, 2025